Question

抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为2，且|MF|=3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线的定义直接求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作两条相互垂直的直线，设MN：x=my+1，PQ：x=-

1

m

y+1(m≠0)，联立直线与抛物线方程组成方程组，利用弦长公式，求出MN，PQ，推出四边形MPNQ的面积的表达式，利用基本不等式求四边形MPNQ面积的最小值．

解答： 解：（1）由已知：2+

P

2

=3 ∴P=3
故抛物线C的方程为：y²=4x…（4分）
（2）由（1）知：F（1，0）
设MN：x=my+1，PQ：x=-

1

m

y+1(m≠0)…（6分）
由

x=my+1 y2=4x

得：y²-4my-4=0
∵△=16m²+16=16（m²+1）＞0
∴|MN|=

1+m2

•4•

m2+1

=4(m2+1)…（8分）
同理：|PQ|=4(

1

m2

+1)…（10分）．
∴四边形MPNQ的面积：S=

1

2

|MN||PQ|=8(m2+1)(

1

m2

+1)=8(m2+

1

m2

+2)≥32
（当且仅当m2=

1

m2

即：m=±1时等号成立）
∴四边形MPNQ的面积的最小值为32．…（12分）

点评：本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，四边形面积的最值以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．