Question

8．如图，F₁，F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（1，$\sqrt{3}$），若△ABF₂为等边三角形，则△BF₁F₂的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据双曲线的定义算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等边三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c²=7a²，结合A（1，$\sqrt{3}$）在双曲线上，即可得出结论．

解答 解：根据双曲线的定义，可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|AF₂|=|AB|
∴|BF₁|=2a
又∵|BF₂|-|BF₁|=2a，
∴|BF₂|=|BF₁|+2a=4a，
∵△BF₁F₂中，|BF₁|=2a，|BF₂|=4a，∠F₁BF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²-2|BF₁|•|BF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a²，
解得c²=7a²，
∴b²=c²-a²=6a²，所以双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{6{a}^{2}}$=1，
又A（1，$\sqrt{3}$），在双曲线上，所以$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{3}{6{a}^{2}}$=1，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以△BF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}×2a×4a×sin120°$=$2\sqrt{3}{a}^{2}$=$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．