Question

9．已知点$P（x，y）满足\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ y≤x+2\\ x≤3\end{array}\right.$，点A，B是圆x²+y²=2上的两个点，则∠APB的最大值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意知点P在不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{y≤x+2}\\{x≤3}\end{array}\right.$表示的平面区域内（包含边界）运动，
当P位于圆x²+y²=2外时，若∠APB最大，则PA，PB所在直线与圆相切，
且点P位于离圆心最近的H处；由此求出∠APB的最大值．

解答 解：由已知可得点P在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{y≤x+2}\\{x≤3}\end{array}\right.$表示的平面如图所示（包含边界）运动，
易知点P位于圆x²+y²=2外时，∠APB最大时，
当PA，PB所在直线与圆相切，且点P位于离圆心最近的H处；
此时，圆心到直线x+y-4=0的距离为$|OH|=2\sqrt{2}$，
所以在Rt△OAP中|OP|=2|OA|，
所以$∠OPA=\frac{π}{6}$，
同理$∠OPB=\frac{π}{6}$，
此时$∠APB=\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的应用思想，是综合题．