Question

13．若定义在（0，1）上的函数f（x）满足：f（x）＞0且对任意的x∈（0，1），有f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）=2f（x）．则（　　）

• A． 对任意的正数M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M
• B． 存在正数M，对任意的x∈（0，1），使f（x）≤M
• C． 对任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，有f（x₁）＜f（x₂）
• D． 对任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，有f（x₁）＞f（x₂）

Answer 1

分析 当x∈（0，1）时，对勾函数y=x+$\frac{1}{x}$为单调减函数，可知t（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}+x}$在区间（0，1）上单调递增，令0＜x₁＜x₂＜1，则t（x₁）＜t（x₂），∵x∈（0，1），有f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）=2f（x），
故当x→0⁺时，有f（0⁺）=2f（0⁺），故f（0⁺）=0，故不存在对任意的正数M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M，对于函数f（x）的单调性不能确定．

解答 解：当x∈（0，1）时，对勾函数y=x+$\frac{1}{x}$为单调减函数，
所以t（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}+x}$在区间（0，1）上单调递增，
令0＜x₁＜x₂＜1，则t（x₁）＜t（x₂），
∵x∈（0，1），有f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）=2f（x），
∴当x→0⁺时，有f（0⁺）=2f（0⁺），故f（0⁺）=0，
故不存在对任意的正数M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M
 对于函数f（x）的单调性不能确定，
故选：B

点评 本题考查了函数的性质，需要对函数的特征进行分析，从而作出判定，属于难题．