Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+φ）（x∈R），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，f（x）满足以下两个条件：①两条相邻对称轴之间的距离为π；②f（0）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅲ）若方程f（x）+a=0在$[{0，\;\frac{5π}{8}}]$内有2个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求出ω，有特殊点的坐标求出φ，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间．
（Ⅲ）由题意利用函数的单调性求得函数的值域，可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵T=$\frac{2π}{ω}$=2π，所以ω=1，∴函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）．
又f（0）=$\sqrt{2}$sinφ=1，∴sinφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{4}$．
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得 kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
故函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
又因为0≤x≤π，函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间为[0，$\frac{π}{8}$]和[$\frac{5π}{8}$，π]．
（Ⅲ）由题意知：函数y=f（x）与y=-a图象在$[{0，\;\frac{5π}{8}}]$内有两个交点，
由（Ⅱ）可知函数f（x）在[0，$\frac{π}{8}$]上是增函数，在$[{\frac{π}{8}，\;\frac{5π}{8}}]$上是减函数．
又f（0）=1，$f（{\frac{π}{8}}）=\sqrt{2}$，$f（{\frac{5π}{8}}）=-\sqrt{2}$，所以$1≤-a＜\sqrt{2}$，即$-\sqrt{2}＜a≤1$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，正弦函数的图象特征，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．