Question

在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinB•cosC，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：第一个等式变形后，利用余弦定理求出cosA的值，进而求出A的度数，第二个等式化简，利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到B=C，即可确定出三角形形状．

解答： 解：将（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
整理得：（b+c）²-a²=3bc，即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理得：cosA=

1

2

，
∵A为三角形内角，∴A=

π

3

，
∵sinA=2sinBcosC，且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∵B+C=

2π

3

，
∴A=B=C=

π

3

，
则△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．