Question

某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+

600

x

-30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．
（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；
（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x-

1

30

x³，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据生产这批试剂厂家的生产成本有三个方面，可得函数关系P（x），利用配方法求出P（x）的最小值；
（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x-

1

30

x³-（x²+40x+8100），利用导数，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+

600

x

-30）]÷x=x+

8100

x

+40，
∵50≤x≤200，
∴x=90时，P（x）的最小值为220元；
（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x-

1

30

x³-（x²+40x+8100），
∴L′（x）=1200-

1

10

x²-2x=-

1

10

（x+120）（x-100），
∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，
∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查配方法，考查导数知识的综合运用，属于中档题．