Question

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x²⁰¹³有最大值M和最小值m，则M+m=

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：本题可先研究函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，
∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=-2014，
取y=-x，得到：f（0）=f（x）+f（-x）+2014，
∴f（x）+f（-x）=-4028．
记h（x）=f（x）+2014x²⁰¹³+2014，
则h（-x）+h（x）=[f（-x）+2014（-x）²⁰¹³+2014]+f（x）+2014x²⁰¹³+2014
=f（x）+f（-x）+2014x²⁰¹³-2014x²⁰¹³+4028
=f（x）+f（-x）+4028
=0，
∴y=h（x）为奇函数．
记h（x）的最大值为A，则最小值为-A．
∴-A≤f（x）+2014x²⁰¹³+2014≤A，
∴-A-2014≤f（x）+2014x²⁰¹³≤A-2014，
∵g（x）=f（x）+2014x²⁰¹³，
∴∴-A-2014≤g（x）≤A-2014，
∵函数g（x）有最大值M和最小值m，
∴M=A-2014，m=-A-2014，
∴M+m=A-2014+（-A-2014）
=-4028．
故答案为：-4028．

点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，本题难度适中，属于中档题．