题目内容
经过△OAB的重心G（三条中线的交点）作一直线与OA，OB分别交于点P，Q，设
=m
，
=n
（m，n∈R），则
+
= ．
| OP |
| OA |
| OQ |
| OB |
| 1 |
| m |
| 1 |
| n |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：根据向量的加法，及三角形重心的性质，中线向量可得：
=
(
+
)+
=m
①，
=
(
+
)+
=n
，因为
，
共线，所以存在实数λ，使：
=λ
，所以得到，
(
+
)+λ
=n
②．①②联立消去λ得：
(λ-1)(
+
)=mλ
-n
，所以得到，
，这样可解出λ，并带入
(λ-1)=-n并整理可得：m+n=3mn，这样即可求出
+
．
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| GP |
| OA |
| OQ |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| GQ |
| OB |
| GQ |
| GP |
| GQ |
| GP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| GP |
| OB |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
|
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| m |
| 1 |
| n |
解答：
解：如图，连接OG并延长交AB于H，则H为AB的中点；
∴
=
+
=
+
=
(
+
)+
=m
①；
同样，
=
(
+
)+
，∵
，
共线，∴存在实数λ，使
=λ
；
∴
=
(
+
)+λ
=n
②；
∴①•λ-②得：
(λ-1)(
+
)=mλ
-n
；
∴
，解出λ=-
，带入
(λ-1)=-n得：
(-
-1)=-n，∴m+n=3mn，∴
+
=3．
故答案为：3．
解：如图，连接OG并延长交AB于H，则H为AB的中点；∴
| OP |
| OG |
| GP |
| 2 |
| 3 |
| OH |
| GP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| GP |
| OA |
同样，
| OQ |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| GQ |
| GP |
| GQ |
| GQ |
| GP |
∴
| OQ |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| GP |
| OB |
∴①•λ-②得：
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
∴
|
| n |
| m |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| n |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| n |
故答案为：3．
点评：本题考查向量的加法运算，中线向量，三角形重心的性质，共面向量基本定理．
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