Question

已知数列{a_n}中，a₁=-

1

2

，且2a_n+1+a_na_n+1+1=0（n∈N*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据a₁=-

1

2

，且2a_n+1+a_na_n+1+1=0，利用递推公式，求出aa₂，a₃，a₄．
（2）总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： （1）解：由a₁=-

1

2

，且2a_n+1+a_na_n+1+1=0得a₂=-

2

3

，a₃=-

3

4

，a₄=-

4

5

（2）a_n=-

n

n+1

．
证明：①n=1时，结论成立，
②假设n=k时，结论成立，即a_k=-

k

k+1

，
则n=k+1时，由2a_k+1+a_ka_k+1+1=0，
得：a_k+1=-

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，即n=k+1时等式也成立，
由①②可知a_n=-

n

n+1

．

点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．