Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为

x=5+at y=-1-t

 (t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2

2

cos(θ-

π

4

)．
（Ⅰ）若圆C关于直线l对称，求a的值；
（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）把直线l的参数方程和圆C的极坐标方程分别化为直角坐标方程，再利用圆C关于直线l对称可得直线l过圆心，即可得出．
（II）利用圆C与直线l相切?点C到直线l的距离d=r，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为

x=5+at y=-1-t

 (t为参数）消去参数t可得：直线l：x+ay+a-5=0； 
由圆C的极坐标方程为ρ=2

2

cos(θ-

π

4

)，化为ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x²+y²-2x-2y=0，即（x-1）²+（y-1）²=2．
∴圆心为C（1，1），半径r=

2

．
∵圆C关于直线l对称，∴直线l过圆心，
∴1+a•1+a-5=0，
解得a=2；     
（Ⅱ）点C到直线l的距离d=

2|a-2|

a2+1

，
∵圆C与直线l相切，∴d=r．
∴

2|a-2|

a2+1

=

2

，
整理得a²-8a+7=0，
解得a=1或a=7．

点评：本题考查了把直线l的参数方程和圆C的极坐标方程分别化为直角坐标方程、圆的对称性质、圆C与直线l相切?点C到直线l的距离d=r等基础知识与基本技能方法，属于基础题．