Question

已知数列{a_n}中，a₁=

3

4

，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an-1

}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n+a_n=l（n∈N^*），S_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，试比较a_n与8S_n的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用已知递推式，只要证明

1

an+1-1

-

1

an-1

是一个常数即可；
（II）利用“裂项求和”和“作差法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*），
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1 2-an -1

-

1

an-1

=

2-an

an-1

-

1

an-1

=-1，
又

1

a1-1

=

1

3 4 -1

=-4，
∴数列{

1

an-1

}是首项为-4，公差为-1的等差数列．
∴

1

an-1

=-4-(n-1)=-n-3，化为an=

n+2

n+3

（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n+a_n=l（n∈N^*），
∴b_n=1-a_n=

1

n+3

，
∴bnbn+1=

1

n+3

-

1

n+4

，
∴S=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

，
从而a_n-8S_n=

n+2

n+3

-

2n

n+4

=

-n2+8

(n+3)(n+4)

，
∴当n≤2时，a_n＞8S_n；
当n≥3时，a_n＜8S_n．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”和“作差法”等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．