Question

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C₁与双曲线C₂有共同的焦点，设左右焦点分别为F₁，F₂，P是C₁与C₂在第一象限的交点，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁•e₂的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  9

  ，+∞）
• B、（

  1

  5

  ，+∞）
• C、（

  1

  3

  ，+∞）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设椭圆和双曲线的长轴长分别为2a₁，2a₂，焦距为2c，设|PF₁|=x，|PF₂|=|F₁F₂|=y，由题意得

x+y=2a1 x-y=2a2 2c=y

，则e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

y2

x2-y2

=

1

( x y )2-1

，由此利用三角形三边关系和复合函数单调性能求出结果．

解答： 解：∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C₁与双曲线C₂有共同的焦点，
设左右焦点分别为F₁，F₂，P是C₁与C₂在第一象限的交点，
△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，
∴设椭圆和双曲线的长轴长分别为2a₁，2a₂，焦距为2c，
设|PF₁|=x，|PF₂|=|F₁F₂|=y，
由题意得

x+y=2a1 x-y=2a2 2c=y

，
∵椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，
∴e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

y2

x2-y2

=

1

( x y )2-1

，
由三角形三边关系得|F₁F₂|+|PF₂|＞|PF₁|＞|PF₂|，
即2y＞x＞y，得到1＜

x

y

＜2，
∴1＜（

x

y

）²＜4，∴0＜（

x

y

）²-1＜3，
根据复合函数单调性得到e₁•e₂=

1

( x y )2-1

＞

1

3

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线和椭圆的离心率的乘积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形三边关系的合理运用．