Question

甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛，于是他们制定了一个规则，规则为：（如图）以O为起点，再从A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就让甲去；若X=0就让乙去；若X＜0就是丙去．
（Ⅰ）写出数量积X的所有可能取值；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人去参加比赛的概率，并由求出的概率来说明这个规则公平吗？

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据向量数量积的定义即可计算X的所有可能取值；
（Ⅱ）

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得：

OA1

•

OA2

=(1，0)•(1，-1)=1，

OA1

•

OA3

=(1，0)•(0，-1)=0，

OA1

•

OA4

=(1，0)•(0，1)=0，

OA1

•

OA5

=(1，0)•(-1，1)=-1，

OA2

•

OA3

=(1，-1)•(0，-1)=1，

OA2

•

OA4

=(1，-1)•(0，1)=-1，

OA2

•

OA5

=(1，-1)•(-1，1)=-2，

OA3

•

OA4

=(0，-1)•(0，1)=-1，

OA3

•

OA5

=(0，-1)•(-1，1)=-1，

OA4

•

OA5

=(0，1)•(-1，1)=1．
∴X的所有可能取值为-2，-1，0，1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知基本事件共10个，
X＞0的事件有3个，
X=0的事件有2个，
X＜0的事件有5个，
P（甲去）=

3

10

．
P（乙去）=

2

10

．
P（丙去）=

5

10

．
甲乙丙去的概率不相同，
∴这个规则不公平．

点评：本题考查古典概型及其概率公式，以及平面向量的数量积的运算的综合应用，属中档题．