Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且S_n=

an(an+1)

2

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2Sn

(-2)n(n+1)

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在递推式中取n=1求得a₁，然后取n=n-1得另一递推式，作差后整理得到数列{a_n}为等差数列，则数列的通项公式可求；
（2）把a_n代入S_n=

an(an+1)

2

，求得S_n后代入b_n=

2Sn

(-2)n(n+1)

，然后利用错位相减法求得T_n．

解答： 解：（1）S_n=

an(an+1)

2

（n∈N^*），
当n=1时，S1=

a1(a1+1)

2

，∴a₁=1，
当n≥2时，
由S_n=

an(an+1)

2

，得2Sn=an2+an ①
取n=n-1，得2Sn-1=an-12+an-1 ②
①-②得：2an=2(Sn-Sn-1)=an2-an-12+an-an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴数列{a_n}是等差数列，
则a_n=n；
（2）由S_n=

an(an+1)

2

，a_n=n，
∴Sn=

n(n+1)

2

，
则bn=

2Sn

(-2)n(n+1)

=

n

(-2)n

，
∴Tn=

1

-2

+

2

(-2)2

+…+

n-1

(-2)n-1

+

n

(-2)n

，
-2Tn=1+

2

-2

+…+

n-1

(-2)n-2

+

n

(-2)n-1

，
两式作差得：
∴-3Tn=1+

1

-2

+…+

1

(-2)n-1

-

n

(-2)n

=

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

-

n

(-2)n

=

2+(- 1 2 )n-1

3

-

n

(-2)n

，
∴Tn=

n

3(-2)n

-

2+(- 1 2 )n-1

9

=

3n+2

9(-2)n

-

2

9

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了利用错位相减法求数列的和，是中档题．