Question

15．已知椭圆C的两个焦点是$（0\;，\;-\sqrt{3}）$和$（0\;，\;\sqrt{3}）$，并且经过点$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;，\;1）$，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．
（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，求|AF|•|FB|+|FG|•|HF|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2c=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$，将$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;，\;1）$代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-3}=1$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）由题意求得直线l₁、l₂的方程，将直线l₁、l₂代入代入抛物线方程，利用韦达定理，表示出|AF|•|FB|+|FG|•|HF|=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|，由基本不等式性质可知$\frac{4}{k^2}=4{k^2}$，即k=±1时，|AF|•|FB|+|FG|•|HF|的最小值为16．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，焦距为2c，
则由题意得$c=\sqrt{3}\;，\;{a^2}=4$，
∴椭圆方程为$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，抛物线方程为y²=4x．…4分
（Ⅱ）设l₁的方程为：y=k（x-1），l₂的方程为：$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），H（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴$△=4{k^4}+16{k^2}+16-4{k^4}＞0\;，\;{x_1}+{x_2}=2+\frac{4}{k^2}\;，\;{x_1}{x_2}=1$，
同理${x_3}+{x_4}=4{k^2}+2\;，\;{x_3}{x_4}=1$．…6分
∴|AF|•|FB|+|FG|•|HF|=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|，…8分
=$（{x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}+1）+（{x_3}{x_4}+{x_3}+{x_4}+1）=8+\frac{4}{k^2}+4{k^2}$，
$≥8+2\sqrt{\frac{4}{k^2}•4{k^2}}=16$，
当且仅当$\frac{4}{k^2}=4{k^2}$，
即k=±1时，|AF|•|FB|+|FG|•|HF|的最小值为16．…12分．

点评 本题考查椭圆及抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的综合运用，属于中档题．