Question

3．已知椭圆的中心在原点，离心率$e=\frac{1}{2}$且它的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，则此椭圆的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$
• C． $\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$

Answer 1

分析 抛物线y²=4x的焦点为（1，0），可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，c=1．联立解出即可得出．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
∴可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，c=1．
解得：c=1，a=2，b²=3．
∴此椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．