Question

4．已知关于x的方程3cos²x+2sinx+a-4=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的解，则a的取值范围为$（\frac{2}{3}，1]$．

Answer 1

分析 将方程进行化简，利用换元法，转化成二次方程，利用根的分布即可得到答案．

解答 解：由3cos²x+2sinx+a-4=0
可得：3sin²x-2sinx+1-a=0
设sinx=t，∵$0≤x≤\frac{π}{2}$
∴0≤t≤1
则有：f（t）=3t²-2t+1-a
根据一元二次方程根的分布，0≤t≤1两个不同的解：
有：$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（0）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4-12（1-a）＞0}\\{1-a≥0}\\{3-2+1-a≥0}\end{array}\right.$
解得：$\frac{2}{3}＜a≤1$
故答案为$（\frac{2}{3}，1]$．

点评 本题考查了三角函数的化简，转化思想，因为有两个不同的解，可以利用一元二次方程根的分布解题．属于中档题．