Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求W的方程；
(Ⅱ)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，
求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析

(Ⅰ) 设C（x, y）,
∵, ,
∴,
∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴. ∴.
∴W:   . …………………………………………… 2分
(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
整理，得.        ①………………………… 5分
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或.
∴满足条件的k的取值范围为………… 7分
（Ⅲ）设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),则＝（x₁+x₂，y₁+y₂),
由①得.                ②
又               ③
因为，，所以.……………………… 11分
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线.