题目内容
在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量。求:
(Ⅰ)点M的轨迹方程; (Ⅱ)的最小值。
(Ⅰ)点M的轨迹方程; (Ⅱ)的最小值。
(Ⅰ) + ="1" (x>1,y>2);(Ⅱ)||的最小值为3.
(Ⅰ)椭圆方程可写为: + ="1 " 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C 的方程为: x2+ ="1" (x>0,y>0).
y=2(0<x<1) y '=-
设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2,
y '|x=x0= - ,得切线AB的方程为: y=- (x-x0)+y0 .
设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .
由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,
得点M的轨迹方程为: + ="1" (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= ="4+" ,
∴| |2= x2-1++5≥4+5=9.且当x2-1= ,即x=>1时,上式取等号.
故||的最小值为3.
y=2(0<x<1) y '=-
设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2,
y '|x=x0= - ,得切线AB的方程为: y=- (x-x0)+y0 .
设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .
由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,
得点M的轨迹方程为: + ="1" (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= ="4+" ,
∴| |2= x2-1++5≥4+5=9.且当x2-1= ,即x=>1时,上式取等号.
故||的最小值为3.
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