Question

已知反比例函数y=

1

x

的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．
（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
（2）设直线l过点P（0，4），且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．
①求A、B中点M的轨迹方程；
②当

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，且λ₁+λ₂=-8时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据反比例函数y=

1

x

的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线，即可求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
（2）先把直线l的方程以及A、B两点的坐标设出来，利用

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，找到λ₁和λ₂与A、B两点的坐标和直线l的斜率的关系，再利用A、B两点是直线和双曲线的交点以及λ₁+λ₂=-8，求出直线l的斜率k进而求出Q点的坐标．

解答： 解：（1）由题意得：顶点：（-1，-1）、（1，1），---------------------------------（2分）
焦点：（-

2

，-

2

）、（

2

，

2

）为焦点．--------------------------------------（4分）
（2）①直线l斜率不存在或为0时显然不满足条件；
设直线l：y=kx+4（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），---------------------（1分）
将y=kx+4代入y=

1

x

，得kx²+4x-1=0，--------------------------------------（1分）
△=16+4k＞0，∴k＞-4，--------------------------------------（1分）
x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=-

1

k

，-------------------------------（1分）
∴x=-

2

k

，y=2，--------------------------------------（1分）
∵k＞-4，∴x∈（-∞，0）∪（

1

2

，+∞），--------------------------------------（2分）
∴A、B中点M的轨迹方程为y=2（x∈（-∞，0）∪（

1

2

，+∞），------------（1分）
②直线l斜率不存在或为0时显然不满足条件；-------------------------------------（1分）
设直线l：y=kx+4（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则Q（-

4

k

，0）-----------------------（1分）
将y=kx+4代入y=

1

x

，得kx²+4x-1=0，--------------------------------------（1分）
∵

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，
∴（-

4

k

，-4）=λ₁（x₁+

4

k

，y₁）=λ₂（x₂+

4

k

，y₂），-----------（1分）
∴λ₁+λ₂=

-4

kx1+4

+

-4

kx2+4

=-8，即2k²x₁x₂+7k（x₁+x₂）+24=0，
解得k=-2，--------------------------------------（2分）
∴Q（2，0）．--------------------------------------（1分）

点评：本题主要考查了双曲线方程的求法，以及根据直线与双曲线位置求直线方程，属于圆锥曲线的常规题．