Question

已知（

3

x

+x²）²ⁿ的展开式的二项式系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的二项式系数和大992．求（2x-

1

x

）¹⁰的展开式中，
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：（1）由条件求得m=5，利用二项式系数的性质可得第6项的二项式系数最大，由通项公式可得该项．
（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，由通项公式可得

C r 10 •210-r ≥C r+1 10 •29-r C r 10 •211-r ≥C r-1 10 •211-r

，求得 r=3，可得第4项的系数的绝对值最大，再利用二项式展开式的通项公式，求得该项．

解答： 解：（1）由题意可得 2²ⁿ=2ⁿ+992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，∴2ⁿ=32，n=5．
由于（2x-

1

x

）¹⁰的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，由通项公式可得该项为 T₆=

C

5 10

•（-1）⁵•2⁵=-8064．
（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，∵T_r+1=

C

r 10

•（-1）^r•2^10-r•x^10-2r，∴

C r 10 •210-r ≥C r+1 10 •29-r C r 10 •211-r ≥C r-1 10 •211-r

，
求得

8

3

≤r≤

11

3

，∴r=3，故第4项的系数的绝对值最大，该项为T₄=

C

3 10

•2⁷•x⁴=-15360x⁴．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．