Question

设数列{a_n}满足a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），S_n是数列{a_n}的前n项和，S₉=99，a₁₀=21．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得数列{a_n}是等差数列，由解得a₁=3，d=2，由此能求出S_n=n²+2n．
（3）由

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），利用裂项求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），
∴数列{a_n}是等差数列，
∵S₉=99，a₁₀=21，
∴

9a1+ 9×8 2 d=99 a1+9d=21

，解得a₁=3，d=2，
∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n．
（3）

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用．