Question

已知数列{a_n}中，S_n为前n项的和，2S_n=3a_n-1．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+（-1）ⁿlog₃a_n，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据条件建立方程组，得到数列{a_n}是等比数列，即可求a_n；
（Ⅱ）利用分组求和法，即可求出数列的前2n项和．

解答： 解：（Ⅰ）因为2S_n=3a_n-1，
所以2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2）
两式相减得2a_n=3a_n-3a_n-1，
所以 a_n=3a_n-1，
所以数列{a_n}是等比数列的公比q=3
当n=1，得2a₁=3a₁-1，解得a₁=1．
则a_n=3^n-1．
（Ⅱ） b_n=a_n+（-1）ⁿlog₃a_n=3^n-1+（-1）ⁿlog₃3^n-1=3^n-1+（-1）ⁿ（n-1），
则数列{b_n}的前2n项和T_2n=（1+3+3²+…+3^2n-1）+[-0+1-2+3-…+（2n-1）]=

1-32n

1-3

+n=

32n

2

+n-

1

2

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解以及数列求和，利用分组求和法以及等差数列和等比数列的求和公式是解决本题的关键．