Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB为直角．以AC为直径作半圆O，使半圆O所在平面⊥平面ABC，P为半圆周异于A，C的任意一点．
（1）证明：AP⊥平面PBC
（2）若PA=1，AC=BC=2，半圆O的弦PQ∥AC，求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由圆的性质得AP⊥PC，由∠ACB是直角，得BC⊥AC，从而得到BC⊥平面PAC，由此能证明AP⊥平面PBC．
（2）取AB中点D，PQ中点E，连结OD，OE，以O为原点，OD为x轴，OC为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵P为圆周上一点，AC为直径，∴AP⊥PC，
∵∠ACB是直角，∴BC⊥AC，
又BC?平面ABC，半圆O所在平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC，
又AP?平面PAC，∴AP⊥BC，
而PC，BC?平面PBC，PC∩BC=C，
∴AP⊥平面PBC．
（2）解：取AB中点D，PQ中点E，连结OD，OE，
∵O，D分别为AC，AB中点，∴OD∥BC，
又根据（1）知BC⊥平面PAC，∴OD⊥平面PAC，
∵半圆O的弦PQ∥AC，
根据垂径定理得OE⊥PQ，∴OE⊥AC，
以O为原点，OD为x轴，OC为y轴，OE为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=2，PA=1，
∴O（0，0，0），A（0，-1，0），B（2，1，0），
C（0，1，0），D（1，0，0），P(0，-

1

2

，

3

2

)，Q（0，

1

2

，

3

2

），
与（1）同理证得AQ⊥平面QBC，
∴

AQ

=(0，

3

2

，

3

2

)是平面QBC的一个法向量，
设平面PAB的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

AB • n =0 AP • n =0

，
∵

AB

=(2，2，0)，

AP

=(0，

1

2

，

3

2

)，
∴

2x+2y=0 1 2 y+ 3 2 z=0

，取z=1，得

n

=(

3

，-

3

，1)，
设平面PAB与平面QBC所成锐二面角为α，
则cosα=|cos＜

AQ

，

n

＞|=|

- 3 3 2 + 3 2

3 × 7

|=

7

7

．
∴平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值为

7

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．