Question

11．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 由题意可知求得直线l的方程，代入抛物线方程，点A在x轴上方，即可求得A点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨OA丨．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点F的坐标为（1，0）
∵直线l过F，倾斜角为60°，即斜率k=tanα=$\sqrt{3}$，
∴直线l的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-1），即x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}y+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{3}}\\{x=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{x=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
由点A在x轴上方，则A（3，2$\sqrt{3}$），
则|OA|=$\sqrt{（3）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{21}$，
则丨OA丨=$\sqrt{21}$，
故答案为：$\sqrt{21}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．