Question

6．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$与抛物线y²=8x有一个公共的焦点F．设这两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点P的横坐标是3；该双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，结合条件可得P的横坐标，进而得到P的坐标，代入双曲线的方程和a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求双曲线的渐近线方程．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
即有双曲线的右焦点为（2，0），即c=2，
a²+b²=4，①
又抛物线的准线方程为x=-2，
由抛物线的定义可得|PF|=x_P+2=5，
可得x_P=3，
则P（3，$±2\sqrt{6}$），
代入双曲线的方程可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{24}{{b}^{2}}$=1，②
由①②解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\sqrt{3}$x．
故答案为：3，y=±$\sqrt{3}$x．

点评 本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于中档题．