Question

19．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；
（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得 a．
（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为$\overline x$，可得$\overline x=145×0.05+155×0.1+165×0.2+175×0.4+185×0.2+195×0.05$．
（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为$\frac{1}{4}$．由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B$（3，\frac{1}{4}）$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．
解得 a=0.010．                                  …（3分）
（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为$\overline x$，则$\overline x=145×0.05+155×0.1+165×0.2+175×0.4+185×0.2+195×0.05$
=（145+195）×0.05+155×0.1+（165+185）×0.2+175×0.4=17+15.5+70+70=172.5．
所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5cm．  …（7分）
（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为$\frac{1}{4}$．
由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B$（3，\frac{1}{4}）$，
所以$P（X=0）=C_3^0{（\frac{1}{4}）^0}•{（\frac{3}{4}）^3}=\frac{27}{64}$；$P（X=1）=C_3^1{（\frac{1}{4}）^1}•{（\frac{3}{4}）^2}=\frac{27}{64}$；
$P（X=2）=C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}•{（\frac{3}{4}）^1}=\frac{9}{64}$；$P（X=3）=C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}•{（\frac{3}{4}）^0}=\frac{1}{64}$．
随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

因为X～B$（3，\frac{1}{4}）$，所以$EX=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．…（13分）

点评 本题考查了二项分布列及其数学期望、频率分布直方图的性质、平均数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．