Question

15．已知体积为3$\sqrt{3}$的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各顶点都在同一球面上，若AB=$\sqrt{3}$，则此球的表面积等于$\frac{52π}{3}$．

Answer 1

分析 正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．

解答 解：由题意可知：$\frac{\sqrt{3}}{4}•3•$AA₁=3$\sqrt{3}$，∴AA₁=4
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
所以外接球的半径为：$\sqrt{\frac{1}{3}+4}$=$\sqrt{\frac{13}{3}}$．
所以外接球的表面积为：4π（$\sqrt{\frac{13}{3}}$）²=$\frac{52π}{3}$．
故答案为：$\frac{52π}{3}$．

点评 本题是中档题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．