Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=0，na_n+1=S_n+n（n+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）n≥2时，利用递推关系可得a_n+1-a_n=2．又a₂-a₁=2，数列{a_n}为等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，可得b_n=3^2n-2×n，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）n≥2时，na_n+1=S_n+n（n+1），（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）．
相减可得：na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n．
∴a_n+1-a_n=2．n=1时，a₂=a₁+2，∴a₂-a₁=2，
∴数列{a_n}为等差数列，a_n=0+2（n-1）=2n-2．
（II）∵数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，
∴b_n=3^2n-2×n
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+2×9+3×9²+…+n×9^n-1，
∴9T_n=9+2×9²+…+（n-1）×9^n-1+n×9ⁿ，
∴-8T_n=1+9+9²+…+9^n-1-n×9ⁿ=$\frac{{9}^{n}-1}{9-1}$-n×9ⁿ，
可得：T_n=$\frac{（8n-1）×{9}^{n}+1}{64}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．