Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，cos²x），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$．若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求cos2x的值．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$，根据平面向量数量积运算求出f（x），化简，找出与cos2x的关系即可求解．

解答 解：由题意：函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
当x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$sin（2x-\frac{π}{6}）$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$
$又∵sin（2x-\frac{π}{6}）＞0$
∴$cos（{2x-\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
∴$cos2x=cos[{（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{π}{6}}]$=$cos（{2x-\frac{π}{6}}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-sin（{2x-\frac{π}{6}}）×\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．