Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-

2

3

，满足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2）．
（1）证明：数列{

1

Sn+1

}为等差数列，并求出S_n；
（2）令b_n=log₂（-S_n），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由满足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2），可得满足S_n+

1

Sn

+2=a_n=S_n-S_n-1，变形为

1

1+Sn

-

1

1+Sn-1

=1，即可证明；
（2）由于b_n=log₂（-S_n）=log2

n+1

n+2

，利用对数的运算性质即可得出．

解答： （1）证明：∵满足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2），
∴满足S_n+

1

Sn

+2=a_n=S_n-S_n-1，
化为

1

1+Sn

-

1

1+Sn-1

=1，

1

1+S1

=

1

1- 2 3

=3．
∴数列{

1

Sn+1

}为等差数列，
∴

1

1+Sn

=3+（n-1）×1=n+2．
∴S_n=-

n+1

n+2

．
（2）b_n=log₂（-S_n）=log2

n+1

n+2

，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=log2(

2

3

×

3

4

×…×

n+1

n+2

)=log2

2

n+2

．

点评：本题考查了等差数列的定义及其通项公式、对数的运算性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．