Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知cos

C

2

=

5

3

．
（1）求cosC的值；
（2）若acosB+BcosA=2，a=

2

，求sinA的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）根据二倍角的余弦公式代入已知即可求值．
（2）根据已知和余弦定理先求得c的值，又由a=

2

，cosC=

1

9

，可求得sinC的值，由正弦定理即可求得sinA的值．

解答： 解：（1）∵cos

C

2

=

5

3

，
∴cosC=2cos²

C

2

-1=2（

5

3

）²-1=

1

9

，
（2）∵acosB+BcosA=2，a=

2

，
∴由余弦定理可得：a×

a2+c2-b2

2ac

+b×

c2+b2-a2

2bc

=2
∴解得：c=2，
又∵a=

2

，cosC=

1

9

，
∴sinC=

4 5

9

，
∴由

c

sinC

=

a

sinA

可得sinA=

asinC

c

=

2 × 4 5 9

2

=

2 10

9

．

点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式的综合应用，属于基本知识的考查．