Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ（n∈N₊）．
（Ⅰ）令b_n=a_2n，求证{b_n}是等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：

分析：（I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）对n分类讨论利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）n≥2时b_n-b_n-1=a_2n-a_2n-2=2，
∴{b_n}是等差数列，
且b₁=a₂=2，
∴b_n=2n．
（Ⅱ）∵an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)
当n为奇数时，a_n+2-a_n=0（n∈N₊），即a_n+2=a_n
∵a₁=1，∴a1=a3=…=a2k-1=1  (k∈N*)
故当n为奇数时，a_n=1；
当n为偶数时，an=b

n

2

=n，
∴a_n的通项公式为an=

1， n为奇数 n， n为偶数

．
（Ⅲ）　当n为偶数时，Sn=1+2+1+4+…+1+n=

n

2

+

n 2 (2+n)

2

=

n2+4n

4

，
当n为奇数时，Sn=Sn-1+1=

(n-1)2+4(n-1)

4

+1=

(n+1)2

4

，
故Sn=

(n+1)2 4 ， n为奇数 n2+4n 4 ， n为偶数

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质、等差数列的前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．