Question

奇函数f（x）=

m-g(x)

1+g(x)

的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数且过点（2，4）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0解集非空，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0，a≠1），代入点，即可得到g（x），再由奇函数的定义，即可得到m=1；
（Ⅱ）先判断f（x）的单调性，可运用导数或分离变量法，要使对任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0解集非空，即对任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）＞-f（-2t²+2t-5）解集非空．再由奇函数和单调性的性质，运用分离参数方法，结合二次函数的最值，即可得到k的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0，a≠1），
则a²=4，∴a=2，
∴g(x)=2x，f(x)=

m-2x

1+2x

．
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴

m-2-x

1+2-x

=-

m-2x

1+2x

，
整理得m（2^x+1）=2^x+1，∴m=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

；
（Ⅱ）∵f′(x)=

-2.2xln2

(1+2x)2

＜0，∴y=f（x）在R上单调递减．　
也可用f(x)=

2

1+2x

-1为R上单调递减．　　　
要使对任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0解集非空，
即对任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）＞-f（-2t²+2t-5）解集非空．
∵f（x）为奇函数，∴f（t²+2t+k）＞f（2t²-2t+5）解集非空，
又∵y=f（x）在R上单调递减，∴t²+2t+k＜2t²-2t+5，
当t∈[0，5]时有实数解，
∴k＜t²-4t+5=（t-2）²+1当t∈[0，5]时有实数解，
而当t∈[0，5]时，1≤（t-2）²+1≤10，
∴k＜10．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性及运用：求函数的表达式和解不等式，考查运算能力，考查分离参数的方法，属于中档题和易错题．