Question

已知f（x）=log

1

2

（x²-mx-m）．
（1）若m=0，求函数f（x）的定义域；
（2）若f（x）的值域为R，求m的取值范围；
（3）若f（x）在区间（-∞，1-

3

）上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把m代入函数解析式，由对数式的真数大于0得答案；
（2）由真数可以取到大于0的所有数，则其判别式大于等于0，由此求解m的范围；
（3）由符合函数的单调性可得，内函数在（-∞，1-

3

）上是减函数，且在（-∞，1-

3

）上大于0恒成立，转化为不等式组得答案．

解答： 解：（1）当m=0时，f（x）=log

1

2

x²，当x≠0时，x²＞0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）若f（x）的值域为R，则函数t=x²-mx-m能够取到大于0的所有实数，
则（-m）²+4m≥0，解得m≤-4或m≥0．
∴m的取值范围是（-∞，-4]∪[0，+∞）；
（3）若f（x）在区间（-∞，1-

3

）上是增函数，
即内函数t=x²-mx-m在（-∞，1-

3

）上是减函数，
∴

m 2 ≥1- 3 (1- 3 )2-m(1- 3 )-m≥0

，解得：2-2

3

≤m≤2．
∴实数m的取值范围是[2-2

3

，2]．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了数学转化思想方法，是中档题．