Question

【题目】如图，点在以为直径的圆上， 垂直于圆所在的平面， 为的重心.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）要证平面平面，只需要证得平面即可，有条件可得， ；

（2）以点为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求余弦值即可.

试题解析：

（1）如图，延长交于，

∵为的重心，∴为的中点，

∵为的中点，∴，

∵是圆的直径，∴，∴，

∵平面平面，∴，

又平面平面，

∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（2）如图，以点为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

则.

平面即为平面，设平面的一个法向量为，

则，令，得，

过点作于点，

由等面积法可得，

∴，

∴平面的一个法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则.

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.