Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，求出最大的整数的值；若不存在，请说明理由；

（参考数据： ）

Answer 1

【答案】（1）所求切线的方程为 （2）存在实数满足题意，且最大整数的值为.

【解析】【试题分析】（1）依据题设先求出切点坐标，再对函数求导，进而求出在切点处的导函数值即为切线的斜率，然后运用点斜式求出切线方程；（2）先依据题设建立不等式，进而将问题转化为即对恒成立。然后构造函数，再求导数， 令，则，

因为在上单调递增， ， ，

且的图象在上连续，所以存在，使得，即，最后判定当时， 单调递减；当时， 单调递增，

则取到最小值 ，

所以，即在区间内单调递增. 所以，即存在实数满足题意，且最大整数的值为。

解：(1)因为，所以，则所求切线的斜率为.

又，故所求切线的方程为.

(2)假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.

即对恒成立

令，则，

令，则，

因为在上单调递增， ， ，/span>

且的图象在上连续，所以存在，使得，即，

则，

所以当时， 单调递减；当时， 单调递增，

则取到最小值 ，

所以，即在区间内单调递增.

所以，

所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.