Question

【题目】已知函数f（x）=x|x﹣a|
（1）若函数y=f（x）+x在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图像恒在y=1图像的下方，求实数a的取值范围；
（3）设a≥2时，求f（x）在区间[2，4]内的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=f（x）+x=x|a﹣x|+x=

由函数y=f（x）+x在R上是增函数，

则 即﹣1≤a≤1，

则a范围为﹣1≤a≤1

（2）解：由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜1恒成立，

即x|x﹣a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|a﹣x|＜ ，﹣ ＜x﹣a＜ ，

即为x﹣ ，

故只要x﹣ 且a 在x∈[1，2]上恒成立即可，

即有 即

（3）解：当a≥2时， ，f（x）=

（Ⅰ）当 即a＞8时，f（x）在[2，4]上递增，f（x）min=f（2）=2a﹣4，f（x）max=f（4）=4a﹣16，∴值域为[2a﹣4，4a﹣16]

（Ⅱ）当2≤ ≤4，及4≤a≤8时，f（x）=f（ ）= ，f（2）﹣f（4）=12﹣2a

若4≤a＜6，值域为[4a﹣16， ]；若6≤a≤8，则值域为[2a﹣4， ]；

（Ⅲ）当1 ，即2≤a＜4时f（x）min=0，且f（2）﹣f（4）=6﹣20，

若2≤a＜ ，则值域为[0，16﹣4a]．，若 ，则值域为[0，2a﹣4]

【解析】（1）y=f（x）+x=x|a﹣x|+x= ，要使函数y=f（x）+x在R上是增函数，只需 即可，（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜1恒成立即可，（3）当a≥2时， ，f（x）= ，根据二次函数的性质，分段求出值域即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．