Question

在正四面体ABCD中，点F在CD上，点E在AD上，且DF：FC=DE：EA=2：3．证明：
（1）EF∥平面ABC；
（2）直线BD⊥直线EF．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明EF∥AC，利用直线与平面平行的判定定理，即可证明结论；
（2）取BD的中点M，连AM，CM，证明BD⊥平面AMC，可得BD⊥AC，利用HF∥AC，证明直线BD⊥直线EF．

解答： 证明：（1）因为点F在CD上，点E在AD上，且DF：FC=DE：EA=2：3，…（1分）
所以EF∥AC，…（3分）
又EF?平面ABC，
AC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC．…（6分）
（2）取BD的中点M，连AM，CM，
因为ABCD为正四面体，所以AM⊥BD，CM⊥BD，…（8分）
又AM∩CM=M，所以BD⊥平面AMC，…（10分）
又AC?平面AMC，所以BD⊥EF，…（12分）
又EF∥AC，
所以直线BD⊥直线EF．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．