Question

17．某集团公司为了获得更大的收益，决定以后每年投入一笔资金用于广告促销．经过市场调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约（2t+$\frac{5}{t+2}$-$\frac{5}{2}$）百万元（t≥0）．
（1）若公司当年新增收益不少于1.5百万元，求每年投放广告费至少多少百万元？
（2）现公司准备投入6百万元分别用于当年广告费和新产品开发，经预测，每投入新产品开发费x百万元，可增加销售额约（$\frac{21}{x-8}$+3x+$\frac{21}{8}$）百万元，问如何分配这笔资金，使该公司获得新增收益最大？（新增收益=新增销售额-投入）

Answer 1

分析 （1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），则有f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t，解不等式可得结论；
（2）根据题意，投入新产品开发费x百万元（0≤x≤6），则用于当年广告费为（6-x）（百万元），则获得新增收益为g（x）=$\frac{21}{x-8}$+3x+$\frac{21}{8}$+2（6-x）+$\frac{5}{8-x}$-$\frac{5}{2}$-6=$\frac{16}{x-8}$+x+$\frac{49}{8}$，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），
则有f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t=-（t-2）²+4（0＜t≤3），
-t²+4t≥1.5，0＜t≤3，解得2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$≤t≤3，
∴每年投放广告费至少2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$百万元．（6分）
（2）设投入新产品开发费x百万元（0≤x≤6），则用于当年广告费为（6-x）（百万元），
则获得新增收益为g（x）=$\frac{21}{x-8}$+3x+$\frac{21}{8}$+2（6-x）+$\frac{5}{8-x}$-$\frac{5}{2}$-6=$\frac{16}{x-8}$+x+$\frac{49}{8}$
=-[$\frac{16}{8-x}$+（8-x）]+$\frac{113}{8}$$≤-2\sqrt{16}$+$\frac{113}{8}$=$\frac{49}{8}$，
当且仅当$\frac{16}{8-x}$=8-x，即x-4时，g（x）有最大值$\frac{49}{8}$．
即将4百万元用于新产品开发，2百万元用于广告费，该公司由此获得的收益最大．（12分）

点评 本题主要考查函数模型的建立和应用，还考查了二次函数法和基本不等式研究函数的最值的基本方法．