Question

6．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{a}$+x在x=1处的切线方程为2x-y+b=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²-kx，且g（x）是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用函数f（x）在x=1处的切线方程为2x-y+b=0，建立方程组求实数a，b的值；
（Ⅱ）g（x）在其定义域上是增函数，即g′（x）≥0在其定义域上有解，分离参数求最值，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{lnx}{a}$+x，
∴f′（x）=$\frac{1}{ax}$+1，
∵f（x）在x=1处的切线方程为2x-y+b=0，
∴$\frac{1}{a}$+1=2，2-1+b=0，
∴a=1，b=-1；
（Ⅱ）f（x）=lnx+x，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-kx+lnx+x，
∴g′（x）=x-k+$\frac{1}{x}$+1，
∵g（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，
∴g′（x）≥0在其定义域上恒成立，
∴x-k+$\frac{1}{x}$+1≥0在其定义域上恒成立，
∴k≤x+$\frac{1}{x}$+1在其定义域上恒成立，
而x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3，当且仅当x=1时“=”成立，
∴k≤3．

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导数是关键．