Question

7．某班一次数学测试成绩的茎叶图（茎上数代表十位，叶上数代表个位）如图1所示．
（1）以10为组距，在图2给定的坐标系中画出该班成绩的频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，在样本中从分数在[60，80）之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[70，80）的分数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图，作出频率分布表，由频率分布表作出频率分布直方图．
（2）由茎叶图知分数在[60，70）的有8人，分数在[70，80）的有12人，全班人数为32人，用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，应该在分数为[60，70）的试卷中抽取2份，在分数为[70，80）的试卷中抽取3份，则X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能示出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由茎叶图，作出频率分布表：

分组	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	4	8	12	4	4
频率	$\frac{1}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

由频率分布表作出频率分布直方图：

（2）由茎叶图知分数在[60，70）的有8人，
分数在[70，80）的有12人，全班人数为32人，
用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，
应该在分数为[60，70）的试卷中抽取$\frac{8}{32}×8=2$份，
在分数为[70，80）的试卷中抽取$\frac{8}{32}×12=3份$，
则X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

E（X）=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}$=1.8．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．