Question

12．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.2]=2，[-3.5]=-4，设数列{a_n}的通项公式为a_n=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…[log₂（2ⁿ-1）]．
（Ⅰ）求a₁•a₂•a₃的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得a_n=（n-2）•2ⁿ+a（n∈N^*），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）计算a₁=0，故a₁•a₂•a₃=0；
（2）根据对数性质得出a_n=1•0+2•1+2²•2+2³•3+…+2^n-1•（n-1），使用错位相减法求出a_n，得出a的值．

解答 解：（I）a₁=[log₂1]=0，a₂=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]=0+1+1=2，
a₃=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂7]=0+1+1+2+2+2+2=10．
∴a₁•a₂•a₃=0．
（II）当2^n-1≤x≤2ⁿ-1时，[log₂x]=n-1．
∴[log₂2^n-1]+[log₂2^n-1+1]+[log₂2^n-1+2]+…+[log₂（2ⁿ-1）]=（n-1）（2ⁿ-1-2^n-1+1）=2^n-1（n-1）．
∴a_n=1•0+2•1+2²•2+2³•3+…+2^n-1•（n-1），①
∴2a_n=2²•1+2³•2+2⁴•3+…+2ⁿ•（n-1），②
②-①得：a_n=-2²-2³-2⁴-…-2^n-1+2ⁿ•（n-1）-2
=-$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$+2ⁿ•（n-1）-2
=2ⁿ•（n-2）+2．
又a_n=（n-2）•2ⁿ+a，
∴a=2．

点评 本题考查了对数的运算性质，数列求和的应用，属于中档题．