Question

5．在梯形ABCD中，∠ABC=$\frac{2π}{3}$，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为8π．

Answer 1

分析 确定将梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为$\sqrt{3}$，高为3的圆锥，与一个底面半径为$\sqrt{3}$，高为2的圆柱，挖去一个底面半径为$\sqrt{3}$，高为1的圆锥，利用体积公式，即可得出结论．

解答 解：由题意，梯形的高为2cos30°=$\sqrt{3}$，
将梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为$\sqrt{3}$，高为3的圆锥，与一个底面半径为$\sqrt{3}$，高为2的圆柱，挖去一个底面半径为$\sqrt{3}$，高为1的圆锥，
∴几何体的体积为$\frac{1}{3}•π•3•3+π•3•2-\frac{1}{3}•π•3•1$=8π．
故答案为：8π．

点评 本题考查旋转体体积的计算，考查学生的计算能力，确定旋转体的形状是关键．