Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（sinθ，1）$，$\overrightarrow b=（cosθ，-2）$，θ为第二象限角．
（1）若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{7}{3}$，求sinθ-cosθ的值；
（2）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求$\frac{{3-{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}+3tan2θ$的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{7}{3}$得$sinθcosθ=-\frac{1}{3}$，对sinθ-cosθ取平方得（sinθ-cosθ）²=$\frac{5}{3}$，根据θ的范围开方得出sinθ-cosθ的值；
（2）由$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$得$tanθ=-\frac{1}{2}$，对$\frac{{3-{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}+3tan2θ$进行化简得出答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{7}{3}$，∴$sinθcosθ-2=-\frac{7}{3}$，∴$sinθcosθ=-\frac{1}{3}$．
∴${（sinθ-cosθ）^2}=1-2sinθcosθ=\frac{5}{3}$．
∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴$sinθ-cosθ=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，∴-2sinθ-cosθ=0，∴$tanθ=-\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{3-{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}=\frac{{3{{sin}^2}θ+2{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}=3+\frac{2}{{{{tan}^2}θ}}=11$，$tan2θ=\frac{2tanθ}{{1-{{tan}^2}θ}}=-\frac{4}{3}$．
∴$\frac{{3-{{cos}^2}θ}}{{3{{sin}^2}θ}}+3tan2θ=11-4=7$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，是中档题．