Question

6．正实数a，b满足a^b=b^a，且0＜a＜1，则a，b的大小关系是（　　）

• A． a＞b
• B． a=b
• C． a＜b
• D． 不能确定

Answer 1

分析 法一、由a^b=b^a，得$\frac{lna}{a}=\frac{lnb}{b}$，构造函数y=$\frac{lnx}{x}$，求导后利用其单调性分析；
法二由0＜a＜1，a^b=b^a，得blog_aa=alog_ab，即 $\frac{b}{a}$=log_ab，然后利用反证法说明a=b．

解答 解：法一、由a^b=b^a，得blna=alnb，从而$\frac{lna}{a}=\frac{lnb}{b}$，
考虑函数y=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
∵在（0，1）内f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）内是增函数，
由于0＜a＜1，b＞0，∴a^b＜1，从而b^a=a^b＜1．由b^a＜1及a＞0，
可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
则根据f（x）在（0，1）内是增函数，
得f（a）≠f（b），即$\frac{lna}{a}≠\frac{lnb}{b}$，
从而a^b≠b^a，这与a^b=b^a矛盾．
∴a=b；
法二、∵0＜a＜1，a^b=b^a，
∴blog_aa=alog_ab，即 $\frac{b}{a}$=log_ab，
假如a＜b，则$\frac{b}{a}$＞1，
∵a＜1，根据对数函数的性质，
得log_ab＜log_aa=1，从而 $\frac{b}{a}＞lo{g}_{a}b$，这与 $\frac{b}{a}=lo{g}_{a}b$矛盾，
∴a不能小于b
假如a＞b，则$\frac{b}{a}$＜1，而log_ab＞1，这也与$\frac{b}{a}=lo{g}_{a}b$矛盾．
∴a不能大于b，因此a=b．
故选：B．

点评 本题考查实数的大小比较，考查了利用构造函数法及反证法比较两个实数的大小，是中档题．