Question

已知点M（0，1），C（2，3），动点P满足|

PC

|=1，过点M且斜率为k的直线l与动点P的轨迹相交于A、B两点．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求实数k的取值范围；
（3）求证：

MA

•

MB

为定值；
（4）若O为坐标原点，且

OA

•

OB

=12，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），由已知得

(x-2)2+(y-3)2

=1，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入动点P的轨迹方程得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，由此利用根的判别式能求出实数k的取值范围．
（3）设过M点的圆切线为MT，T为切点，由MT²=MA×MB，能证明

MA

•

MB

为定值．
（4）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4k(k+1)

1+k2

+8=12，由此能求出直线l的方程．

解答： （1）解：设P（x，y），
∵点M（0，1），C（2，3），动点P满足|

PC

|=1，
∴

(x-2)2+(y-3)2

=1，
整理，得动点P的轨迹方程为：（x-2）²+（x-3）²=1．…（2分）
（2）解：直线l过点M（0，1），且斜率为k，
则直线l的方程为y=kx+1，…（3分）
将其代入动点P的轨迹方程得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
由题意：△=[-4（1+k）]²-28（1+k²）＞0，
解得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

．…（6分）
（3）证明：设过M点的圆切线为MT，T为切点，
则MT²=MA×MB，
而MT²=（0-2）²+（1-3）²=7，…（8分）
∴

MA

•

MB

=|

MA

|•|

MB

|cos0°=7为定值．…（10分）
（4）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知

x1+x2= 4+4k 1+k2 x1x2= 7 1+k2

，…（10分）

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=

4k(k+1)

1+k2

+8=12，…（12分）
解得k=1，当k=1时．△=8²-4×2×7=8，…（13分）
故k=1，直线l的方程为y=x+1．…（14分）

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，考查

MA

•

MB

为定值的证明，考查直线方程的求法，解题时要注意根的判断式、韦达定理的合理运用．