Question

如图，设抛物线C：x²=4y的焦点为F，P（x₀，y₀）为抛物线上的任一点（其中x₀≠0），过P点的切线交y轴于Q点．
（1）若P（2，1），求证|FP|=|FQ|；
（2）已知M（0，y₀），过M点且斜率为

x0

2

的直线与抛物线C交于A、B两点，若

AM

=λ

MB

（λ＞1），求λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由抛物线定义知|PF|=y₀+1=2，设过P点的切线方程为y-1=k（x-2），由

y-1=k(x-2) x2=4y

，得x²-4kx+8k-4=0，由此利用根的判别式能证明|PF|=|QF|．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M点坐标为（0，y₀），AB方程为y=

x0

2

x+y0，由

x2=4y y= x0 2 x+y0

，得x²-2x₀x-4y₀=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出λ的值．

解答： （本小题12分）
（Ⅰ）证明：由抛物线定义知|PF|=y₀+1=2，…．（2分）．
设过P点的切线方程为y-1=k（x-2），
由

y-1=k(x-2) x2=4y

，得x²-4kx+8k-4=0，
令△=16k²-4（8k-4）=0，得k=1，
可得PQ所在直线方程为y-y₀=

x0

2

(x-x0)，
∴得Q点坐标为（0，-1）
∴|QF|=2，即|PF|=|QF|…．（6分）
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M点坐标为（0，y₀）
∴AB方程为y=

x0

2

x+y0，
由

x2=4y y= x0 2 x+y0

，得x²-2x₀x-4y₀=0，
∴x₁+x₂=2x₀，x1x2=-4y0=-x02，①
由

AM

=λ

MB

，得（-x₁，y₀-y₁）=λ（x₂，y₂-y₀），
∴x₁=-λx₂，②
由①②，得

(1-λ)x2=2x0 λx22=x02

，整理，得(1-λ)2x22=4λx22，
由x₀≠0，得x₂≠0，
∴（1-λ）²=4λ，又λ＞1，解得λ=3+2

2

．

点评：本题考查线段长相等的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．