Question

双曲线C的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交
l₁，l₂于A，B两点．已知|

OA

|=2|

FA

|，且

BF

与

FA

同向．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）设F（3

5

，0），求直线AB被双曲线C所截得的线段的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由BF⊥OB，得∠OFA=90°+α，根据正弦定理

| OA |

sin∠OFA

=

| AF |

sin∠FOA

，得cosα=2sinα，由此能求出双曲线的离心率．
（2）由已在得椭圆方程为

x2

36

-

y2

9

=1，直线AB的方程为y=-2（x-3

5

由此能求出AB被双曲线所截得的线段长．

解答： 解：（1）由BF⊥OB，得∠OFA=90°+α，
∵△OFA中，|

OA

|=2|

FA

|，
∴根据正弦定理

| OA |

sin∠OFA

=

| AF |

sin∠FOA

，
得sin∠OFA=2sin∠FOA，
即sin（90°+α）=2sinα，可得cosα=2sinα，
∴tanα=

sinα

cosα

=

1

2

，∴

b

a

=

1

2

，得a=2b，c=

a2+b2

=

5

b，
∴双曲线C的离心率e=

c

a

=

5 b

2b

=

5

2

．
（2）∵F（3

5

，0），∴c=3

5

，
则由

c

a

=

5

2

，得a=6，b²=（3

5

）²-6²=9，
∴椭圆方程为

x2

36

-

y2

9

=1，
∵l₁的斜率为

b

a

=

1

2

，∴直线AB的斜率k=-2，得直线AB的方程为y=-2（x-3

5

），…②
将②代入①并化简，得15x²-96

5

x+756=0
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

32 5

5

，x₁x₂=

252

5

，…③
∴AB被双曲线所截得的线段长为：
|AB|=

1+4

•|x₁-x₂|=

5(x1+x2)2-4x1x2

=

5×( 32 5 5 )2-4× 252 5

=4．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查直线被双曲线截得的线段长的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．